Wikipedia molinezje Online ** www.korzenie.molinezje.com **

Jakas reklama

Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną) $n$ liczb $a 1, a 2,..., a n$ nazywamy liczbę:

$\mu_{k} = \sqrt[k]{\frac{a^{k}_{1}+a^{k}_{2}+...+a^{k}_{n}}{n}}$

Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową.

Powyższą definicję uzupełniamy dla $k=-\infty$ , $k = 0$ oraz $k=+\infty$ w sposób następujący:

$\mu_{-\infty} = \min(a_1, a_2, \dots, a_n),$
$\mu_0 = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n},$
$\mu_{+\infty} = \max(a_1, a_2, \dots, a_n).$

Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:

$\sqrt[3]{\frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}=\sqrt[3]{\frac{225}{5}}=\sqrt[3]{45}\approx3,56$

Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich $a 1, a 2,..., a n$ tak zdefiniowana funkcja $μ k$ zmiennej $k$ jest ciągła i niemalejąca na zbiorze $\R \cup \{-\infty, +\infty\}$ , jeśli zaś dla jakichkolwiek $i$ i $j$ , zachodzi $a_i\neq a_j$ , jest ona nawet rosnąca (wynika to wprost z nierówności między średnimi potęgowymi).

Średnie potęgowe niektórych rzędów mają własne nazwy:

rząd	nazwa
–1	średnia harmoniczna
0	średnia geometryczna
1	średnia arytmetyczna
2	średnia kwadratowa

edytuj Zobacz też

p • d • e

Średnie

Średnia arytmetyczna • Średnia geometryczna • Średnia harmoniczna • Średnia kwadratowa • Średnia potęgowa • Średnia logarytmiczna • Średnia arytmetyczno-geometryczna • Minimum • Maksimum • Mediana • Dominanta (moda) • Średnia Chisinego • Średnia ucinana • Średnia ważona • Średnia winsorowska

Zastosowanie średnich: Środek masy • Środek ciężkości