Wikipedia molinezje Online ** www.korzenie.molinezje.com **

Jakas reklama

Model statystyczny – Hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub układu równań), który przedstawia zasadnicze powiązania występujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi.

Bardziej formalnie jest to parametryzowana rodzina rozkładów łącznych rozważanych zmiennych, stąd druga nazwa przestrzeń statystyczna.

Modele statystyczne używane w ekonometrii noszą nazwę modeli ekonometrycznych.

Spis treści

1 Formalna definicja matematyczna
- 1.1 Model nieparametryczny
- 1.2 Model identyfikowalny
2 Modele liniowe
- 2.1 Linia trendu
3 Modele nieliniowe
4 Systematyka
5 Metody doboru zmiennych i postaci modelu
6 Metody estymacji parametrów modelu
7 Badanie jakości modelu regresyjnego
- 7.1 Mierniki dopasowania
- 7.2 Badanie istotności parametrów modelu
8 Bibliografia
9 Zobacz też

edytuj Formalna definicja matematyczna

Niech

$\mathcal{P}=\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\}$

będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby $\mathcal{X}$ , indeksowaną parametrem $\theta\;$ (w szczególności może to być wektor parametrów rzeczywistych). $P_\theta\;$ opisuje wielowymiarowy łączny rozkład wszystkich obserwacji w próbie $X\;$ .

Formalnie model statystyczny to para:

$(\mathcal{X},\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\})$

Niech próba opisywana przez rozkład $P θ$ będzie wektorem $X=(X_1,X_2,\dots,X_n)$ niezależnych zmiennych losowych z których każda ma rozkład $P_\theta^\prime$ a jej zbiorem wartości jest $\mathcal{X}^\prime$ . $X$ nazywany jest $n$ -elementową próbą z rozkładu $P_\theta^\prime$ .

W takim przypadku stosowany jest również zapis

$(\mathcal{X}^\prime,\{P_\theta^\prime \colon \theta \in \Theta\})^n$

W praktycznych zastosowaniach podaje się po prostu warunek, jaki spełniają rozkłady z rodziny $\mathcal{P}$ . Zmienne losowe występujące w tym warunku determinują przestrzeń próby $\mathcal{X}$ , a parametry tworzą wektor $θ$ .

edytuj Model nieparametryczny

Model nieparametryczny to model w którym nie istnieje skończenie wymiarowa parametryzacja rodziny rozkładów, czyli nie da się go zapisać w takiej postaci, że

$\Theta\subseteq \mathbb{R}^k, k\in\mathbb{N}$

Nie oznacza to braku jakiejkolwiek parametryzacji – to byłoby sprzeczne z definicją modelu statystycznego – np. $\Theta\;$ może być rodziną dystrybuant.

edytuj Model identyfikowalny

Jeśli zachodzi:

$\theta_1 \ne \theta_2 \Rightarrow P_{\theta_1}\ne P_{\theta_2}$

to model nazywany jest identyfikowalnym. Oznacza to, że parametr $\theta\;$ jest jednoznacznie wyznaczony przez rozkład $P_\theta\;$ .

edytuj Modele liniowe

Ogólna postać liniowego modelu o G równaniach łącznie współzależnych i tylu zmiennych endogenicznych (objaśnianych) oraz K dodatkowych zmiennych egzogenicznych (objaśniających) przy liczbie t obserwacji:

$Y_{1t}=\alpha_{10}+\alpha_{11}X_{1t}+\alpha_{12}X_{2t}+...+\alpha_{1K}X_{Kt}+\beta_{12}Y_{2t}+\beta_{13}Y_{3t}+...+\beta_{1G}Y_{Gt}+\xi_{1t}\;$

$Y_{2t}=\alpha_{20}+\alpha_{21}X_{1t}+\alpha_{22}X_{2t}+...+\alpha_{2K}X_{Kt}+\beta_{21}Y_{1t}+\beta_{23}Y_{3t}+...+\beta_{2G}Y_{Gt}+\xi_{2t}\;$

$.....................................................................................................................\;$

$Y_{Gt}=\alpha_{G0}+\alpha_{G1}X_{1t}+\alpha_{G2}X_{2t}+...+\alpha_{GK}X_{Kt}+\beta_{G1}Y_{1t}+\beta_{G2}Y_{2t}+...+\beta_{G G-1}Y_{G-1 t}+\xi_{Gt}\;$

edytuj Linia trendu

Najprostszym modelem stosowanym w prognozie jest linia trendu, w której zakładamy następującą zależność między zmienną objaśniającą $t$ (oznaczającą czas) a zmienną objaśnianą $Y$ :

$Y=at+b+\varepsilon$

gdzie:

$a, b$ – stałe współczynniki
$\varepsilon$ – błąd losowy o rozkładzie normalnym i wartości oczekiwanej zero.

edytuj Modele nieliniowe

Przykładowym równaniem nieliniowym może być znany w ekonomii model (typu) Cobba-Douglasa.

edytuj Systematyka

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: Ta systematyka jest przybliżona i nie obejmuje mnóstwa przypadków.
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Modele statystyczne dzielą się m.in. na:

Jedno- i wielorównaniowe (z więcej niż jedną zmienną endogeniczną)
Przyczynowo-skutkowe i symptomatyczne
Statyczne i dynamiczne (autoregresyjne, trendu)
Proste, rekurencyjne i o równaniach łącznie współzależnych.
Liniowe i nieliniowe
Klasyczne i bayesowskie

Warto wyróżnić następujące typy modeli:

Modele klasy ARMA (auto-regression with moving average) i ARIMA (auto-regression integrated with moving average)
Modele korekty błędem (ECM - error correction model)
VAR (modele wektorowej autoregresji) i modyfikacje
- VAR (vector auto-regression)
- VARMA (vector autoregression with moving average)
- VEC (vector error correction)
Modele panelowe
Modele równowagi ogólnej
- CGE (Computable General Equilibrium)
- DCGE (Dynamic Computable General Equilibrium)

edytuj Metody doboru zmiennych i postaci modelu

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: To tylko część metod. Metody te są stosowane wyłącznie w polskiej ekonometrii.
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Powyższe metody wykorzystywane przy estymacji klasycznych modeli ekonometrycznych są kontrowersyjne a ich naukowość jest kwestionowana.

W praktyce przy doborze zmiennych objaśniających należy kierować się na wstępie zdrowym rozsądkiem i teorią dotyczącą badanego zagadnienia.
Dobór zmiennych zależy również od jakości oszacowania modelu przy danych zmiennych (wykazany brak spełnienia założeń użytej metody estymacji, takie jak dla KMNK heteroskedastyczność, autoregresyjność czy brak rozkładu normalnego reszt, wskazuje na konieczność użycia innego zestawu zmiennych objaśniających). W ten sposób budowa finalnego modelu ma charakter iteracyjny.

Specyficznym przypadkiem są modele trendu, których postać ustalana jest w sposób najbardziej techniczny, w oparciu o parametry dopasowania modelu oraz tak zwane kryteria informacyjne (najbardziej znane z nich: Akaike i Schwarza).

edytuj Metody estymacji parametrów modelu

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: sekcja do rozbudowy.
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Do estymacji parametrów modelu często stosowane są metody regresji statystycznej.

edytuj Badanie jakości modelu regresyjnego

W celu oceny jakości modelu stosuje się rozmaite testy statystyczne badające jego własności. Dobór testów powinien zależeć od przewidywanego zastosowania modelu (najczęstsze to wyjaśnianie oraz prognozowanie).

Najczęstszym zadaniem testów jest sprawdzenie spełnienia założeń przyjętych w użytej metodzie estymacji (najczęściej dotyczą one rozkładu błędów losowych). Inne testy mają za zadanie ocenę stabilności czy dopasowania modelu.

W szczególności, można wyróżnić następujące własności modelu najczęściej badane za pomocą testów statystycznych:

Rozkład błędów losowych
- Autokorelacja
- Homoskedastyczność
- Niezależność
Dopasowanie
Postać modelu (np. liniowa)
Jakość prognoz
Stabilność

edytuj Mierniki dopasowania

edytuj Współczynnik determinacji

$R^2 = {{\sum\limits_{t = 1}^n {\left( {\hat y_t - \overline y } \right)^2 } } \over {\sum\limits_{t = 1}^n {\left( {y_t - \overline y } \right)^2 } }}$ ,

gdzie:

$y_t\,$ - wartość zmiennej Y w momencie t

$\hat y_t$ - wartość teoretyczna zmiennej Y w momencie t

$\overline y$ - wartość średnia zmiennej Y w szeregu czasowym

Współczynnik ten informuje o dopasowaniu liniowego modelu regresji do danych empirycznych. Przyjmuje wartości z przedziału $[0;1]$ . Im wartość bliższa jedności, tym lepsze dopasowanie.

edytuj Skorygowany współczynnik determinacji

Kiedy wartość $R 2$ chce się wykorzystać do porównywania jakości kilku modeli, w których liczba zmiennych objaśniających jest różna, stosuje się skorygowany współczynnik determinacji:

$\tilde R^2 = 1 - {{n - 1} \over {n - m - 1}}\left( {1 - R^2 } \right)$

gdzie:

$R^2\,$ - współczynnik determinacji

$n\,$ - liczba obserwacji

$m\,$ - liczba zmiennych objaśniających (bez zmiennej przy wyrazie wolnym)

edytuj Odchylenie standardowe składnika resztowego

Wartość tego miernika informuje o przeciętnych odchyleniach wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej od teoretycznych. Im wartości mniejsze, tym lepszy model.

$s = \sqrt {\left[ {{1 \over {n - m - 1}}\sum\limits_{t = 1}^n {\left( {y_t - \hat y_t} \right)^2 } } \right]}$

gdzie:

$n\,$ - liczba obserwacji

$m\,$ - liczba zmiennych objaśniających (bez zmiennej przy wyrazie wolnym)

$y_t\,$ - wartość zmiennej Y w momencie t

$\hat y_t$ - wartość teoretyczna zmiennej Y w momencie t

edytuj Współczynnik zmienności

$V_e = {s \over {\overline y }} \cdot 100$

gdzie:

$s\,$ - odchylenie standardowe składnika resztowego

$\overline y\,$ - wartość średnia zmiennej Y w szeregu czasowym

Współczynnik zmienności informuje o tym, jaką część wartości średniej zmiennej objaśnianej stanowi odchylenie standardowe składnika resztowego. Im mniejsza wartość tego współczynnika, tym model jest lepszy.

edytuj Badanie istotności parametrów modelu

Badanie istotności parametrów modelu jest próbą stwierdzenia istotności wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą. Zakładając, że składnik losowy ma rozkład normalny, należy zweryfikować hipotezę o istotności każdego parametru.

$H_0 :\left[ {\alpha _i = 0} \right]$

$H_1 :\left[ {\alpha _i \ne 0} \right]$

gdzie:

$\alpha_i\,$ - parametr przy i-tej zmiennej objaśniającej

$H_0\,$ - i-ta zmienna objaśniająca nieistotnie wpływa na zmienną objaśnianą i powinna być usunięta z modelu

$H_1\,$ - i-ta zmienna objaśniająca istotnie wpływa na zmienną objaśnianą

Aby sprawdzić prawdziwość hipotezy zerowej wyznacza się statystykę testową:

$t_i = {{a_i } \over {D\left( {a_i } \right)}},i = 0,1,...,m$

gdzie:

$a_i\,$ - ocena parametru przy i-tej zmiennej objaśniającej

$D(a_i)\,$ - błąd oceny i-tego parametru (pierwiastek odpowiedniego elementu macierzy $D^2 \left( a \right)$ )

Wartość $a i$ wyznacza się ze wzoru:

$a = (X^T X)^{ - 1} X^T y\,$

gdzie:

$X\,$ - macierz zmiennych objaśniających

$X^T\,$ - transponowana macierz X

$y\,$ - wektor obserwacji zmiennej objaśnianej

Błąd $D (a i)$ :

$D^2 \left( a \right) = s^2 \left( {X^T X} \right)^{ - 1}$

gdzie:

$s^2\,$ - kwadrat odchylenia standardowego składnika resztowego

Następnie należy odczytać wartość krytyczną $t_\alpha\,$ z tablic rozkładu t-Studenta dla zadanego z góry poziomu istotności $α$ i $n - m - 1$ stopni swobody. Jeżeli

$\left| {t_i } \right| > t_\alpha$

to hipotezę zerową odrzuca się na rzecz alternatywnej. Jeśli jednak

$\left| {t_i } \right| \le t_\alpha$ ,

wtedy nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Wymienione powyżej metody badania jakości modelu są najczęściej stosowanymi.

edytuj Bibliografia

Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004, s. 9. http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)
Maria Cieślak: Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowanie. Ss. 44-47.

www.korzenie.molinezje.com

Spis treści

edytuj Formalna definicja matematyczna

edytuj Model nieparametryczny

edytuj Model identyfikowalny

edytuj Modele liniowe

edytuj Linia trendu

edytuj Modele nieliniowe

edytuj Systematyka

edytuj Metody doboru zmiennych i postaci modelu

edytuj Metody estymacji parametrów modelu

edytuj Badanie jakości modelu regresyjnego

edytuj Mierniki dopasowania

edytuj Współczynnik determinacji

edytuj Skorygowany współczynnik determinacji

edytuj Odchylenie standardowe składnika resztowego

edytuj Współczynnik zmienności

edytuj Badanie istotności parametrów modelu

edytuj Bibliografia

edytuj Zobacz też