Dywergencja – operator różniczkowy, który danemu polu wektorowemu przypisuje pole skalarne.
Jeżeli polem wektorowym jest pole prędkości płynięcia nieściśliwego płynu, to dywergencja większa od zera oznacza, że w tym punkcie do układu ciecz dopływa (tu jest jej źródło), jeśli zaś mniejsza od zera, to tu następuje jej odpływ (ma tu swoje ujście). Gdy dywergencja jest równa zeru, to w danym punkcie nie ma ani dopływu, ani odpływu albo oba są sobie równe.
W przypadku pola elektrycznego takimi "źródłami" pola są ładunki, dlatego dywergencja pola elektrycznego jest proporcjonalna do gęstości ładunku w danym punkcie przestrzeni (różniczkowe prawo Gaussa).
Pole wektorowe o zerowej dywergencji nazywamy bezźródłowym. Przykładem takiego pola jest pole magnetyczne (brak monopoli magnetycznych – w przyrodzie obserwuje się wyłącznie dipole).
edytuj Definicja
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold A: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3
Będziemy nazywać polem wektorowym w przestrzeni trójwymiarowej. Dalej będziemy zakładać że powyższa funkcja jest różniczkowalna w całej swej dziedzinie (dzięki temu mamy pewność o istnieniu pochodnych cząstkowych).
Dywergencja pola wektorowego Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold A
jest skalarnym operatorem różniczkowym, określonym następującą formułą:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \operatorname{div}\, \bold A = \lim_{|S| \to 0}~{\iint\limits_{S} \bold A d \bold S \over |V|}
Gdzie Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): V \subset \mathbb R^3
jest obszarem w przestrzeni, Parser nie mógł rozpoznać (<math_output_error>): S \subset \mathbb R^3 brzegiem tego obszaru (czyli pewną powierzchnią zamkniętą), a Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): |S| oznacza pole powierzchni Parser nie mógł rozpoznać (<math_output_error>): S
.
Całka podwójna występująca w definicji nosi nazwę strumienia pola wektorowego Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold A
po powierzchni Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): S
.
edytuj Własności
Powyższa definicja stanowi, iż dywergencja pola wektorowego Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold A
jest operatorem przekształcającym Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold A w pewne pole skalarne Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \alpha
. Przy czym Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \alpha (x, y, z)
oznacza strumień przypadający na jednostkę powierzchni w punkcie (x,y,z).
Można udowodnić, że przy powyższych założeniach dotyczących pola Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold A
(różniczkowalność) dywergencja jest określona w całej dziedzinie pola Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold A
. Przy czym można ją obliczyć korzystając ze wzoru
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \operatorname{div}\, \bold A = \frac {\partial A_x}{\partial x}+\frac {\partial A_y}{\partial y}+\frac {\partial A_z}{\partial z}
Gdzie Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): A_x, A_y, A_z
oznaczają składowe wektora Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold A w kierunku odpowiednio Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): x, y, z
.
W przypadku gdy pole wektorowe określone zostało za pomocą kartezjańskiego układu współrzędnych, można zdefiniować operator wektorowo-różniczkowy zwany operatorem nabla:
,
gdzie Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold i_x, \bold i_y, \bold i_z
są polami wektorowymi, zwanymi wersorami układu współrzędnych kartezjańskich, określonymi następująco:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \mathbb R^3 \ni (x, y, z) \to \bold i_x = (1, 0, 0)
,
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \mathbb R^3 \ni (x, y, z) \to \bold i_y = (0, 1, 0)
,
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \mathbb R^3 \ni (x, y, z) \to \bold i_z = (0, 0, 1)
,
co zapisuje się jako formalny iloczyn skalarny operatora nabla i pola Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \bold A
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \operatorname{div}\, \bold A = \nabla \cdot \bold A
W układach innych niż kartezjański nie ma formalnej definicji operatora nabla! Przy czym słuszny jest następujący wzór (dla układów współrzędnych ortogonalnych):
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \operatorname{div}\, \bold A = {1 \over h_1 h_2 h_3} \left( \frac {\partial (A_1 h_2 h_3)}{\partial x} + \frac {\partial (A_2 h_1 h_3)}{\partial y} + \frac {\partial (A_3 h_1 h_2)}{\partial z} \right)
, gdzie Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): h_1, h_2, h_3
są to pola skalarne związane z układem współrzędnych, zwane współczynnikami Lamego (współczynnikami metryki)
Przykładowo w układzie kartezjańskim są to stałe pola równe 1 na całej dziedzinie.
Każde pole F o zerowej dywergencji (Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): divA=0 ) można przedstawić jako rotację pewnego pola wektorowego (istnieje takie pole A, że Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): F = \nabla \times A ); zob. twierdzenie Helmholtza.