Jakas reklama 

 

Spis treści

edytuj Definicja

Niech (X, \varrho_X) oraz (Y, \varrho_Y) będą przestrzeniami metrycznymi, zaś f\colon X \to Y odwzorowaniem między nimi. Przekształcenie f nazywamy kontrakcją lub odwzorowaniem zwężającym, jeżeli istnieje taka stała rzeczywista \alpha \in (0, 1), że dla dowolnych x_1, x_2 \in X zachodzi nierówność

{\varrho_Y(f(x_1),f(x_2))}\leq \alpha{\varrho_X(x_1,x_2)}. Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała α, dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.

edytuj Ciągłość

Każda kontrakcja, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, a więc w szczególności ciągłym.

edytuj Twierdzenie Banacha

Szczególnie ważny jest przypadek Y = X, gdy X jest niepustą przestrzenią zupełną, to na mocy twierdzenia Banacha o kontrakcji f ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, dla dowolnego punktu x\in X, ciąg x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), \dots jest zbieżny do wspomnianego punktu stałego.

edytuj Zobacz też

bielizna damska kurs c++ kabarety IVF fotograf ślub