www.korzenie.molinezje.com

Wikipedia molinezje Online

Jakas reklama

Moduł liczby zespolonej – uogólnienie pojęcia wartości bezwzględnej liczb rzeczywistych na liczby zespolone. Interpretacją modułu na płaszczyźnie zespolonej jest wartość (długość) wektora liczby zespolonej.

edytuj Definicja

Dla liczby zespolonej $z = x + iy \in \mathbb C$ jej moduł definiuje się jako liczbę rzeczywistą $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Równoważnie: jeżeli przedstawi się liczbę zespoloną $z$ w postaci macierzowej

$\mathrm z = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ ,

to pierwiastek z wyznacznika tej macierzy stanowi jej moduł:

$|z| = \sqrt{\det \mathrm z}$

Dla liczby $r = a + 0i \in \mathbb C$ nie posiadającej części urojonej, czyli izomorficznej z liczbą rzeczywistą $r' = a \in \mathbb R$ zachodzi:

$|r| = |a + 0i| = \sqrt{a^2 + 0^2} = \sqrt{a^2} = |a| = |r'|$ .

Moduł liczby zespolonej jest liczbą nieujemną, osiągającą zero wyłącznie dla $0 \in \mathbb C$ i tylko ta liczba ma moduł równy $0$ .

Moduł iloczynu liczb $u = a + b i$ oraz $v = c + d i$ jest równy iloczynowi ich modułów:

| u v | = | (a + b i)(c + d i) | = | a + b i | | c + d i | = | u | | v |

,

w szczególności dla liczby rzeczywistej $r$ zachodzi

| r u | = | r (a + b i) | = | r | | a + b i | = | r | | u |

.

Dla modułu liczby zespolonej zachodzi nierówność trójkąta, zatem spełnia on definicję normy.