Jakas reklama 

 

Objętość jest miarą przestrzeni.

Spis treści

edytuj Konstrukcja pojęcia

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach a2 < a1, a3 < a2, itd. uzyskamy ciąg liczb n1,n2,.... Objętością nazywamy granicę:

V=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^3.

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

\{(x,y,z) \in \mathbb Q^3: 0, x, y, z<1\}

oraz

\{(x,y,z): 0<x, y, z<1 \and x \in I\mathbb Q \or y \in I\mathbb Q \or z \in I\mathbb Q\}

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Zobacz więcej w osobnym artykule: Miara Lebesgue'a.

edytuj Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem z = f(x,y), a płaszczyzną OXY w obszarze x1 < x < x2,y1 < y < y2 jest równe całce podwójnej

V=\int\limits_{x_1}^{x_2}\int\limits_{y_1}^{y_2}|f(x,y)|dy~dx.

edytuj Jednostki objętości

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.


edytuj Zobacz też

Tłumaczenia murapol Biuro tłumaczeń scuttle Matowe lustro - Wierzyński Kazimierz