 |
Zasugerowano, aby ten artykuł (lub sekcję) zintegrować z artykułem teoria punktu stałego. (dyskusja) |
Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie - punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi. Formalnie:
edytuj Definicja
Niech X będzie zbiorem oraz 
. Punkt 
nazywamy punktem stałym odwzorowania f, jeśli f(x) = x. Zbiór punktów stałych oznaczamy 
, tj. 
.
Dużą część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktu stałego pewnych odwzorowań. Należą do nich m.in.:
- szukanie optymalnych rozwiązań w teorii gier (zastosowania w ekonomii),
- istnienie rozwiązań pewnych równań różniczkowych,
- szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów częściowo uporządkowanych (zastosowania w informatyce)
- pewne zagadnienia teorii procesów dynamicznych i teorii chaosu,
jak i wielu innych.
Nawet szukanie rozwiązania układu równań (np. liczbowych) sprowadza się do szukania punktu stałego pewnego odwzorowania. Dokładniej, niech X będzie przestrzenią liniową, (np. 
lub 
) oraz 
. Punkt jest rozwiązaniem rozwiązaniem równania F(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania f = id − F.
edytuj Źródła
- Jerzy Jezierski, Wacław Marzantowicz: Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory. Dordrecht: Springer, 2006.