Wikipedia molinezje Online ** www.korzenie.molinezje.com **

Jakas reklama

Sterowalność – pojęcie występujące w automatyce, pozwalające określić możliwość wpływania na stan badanego obiektu.

Spis treści

1 Definicja – układ liniowy
2 Definicja – układ nieliniowy
3 Sposoby wyznaczania
4 Wzór – układ liniowy

edytuj Definicja – układ liniowy

Liniowy układ sterowania jest sterowalny, jeżeli dla dowolnego stanu początkowego $x (0)$ możemy zastosować takie sterowanie $u (t)$ , które w skończonym czasie $t f$ spowoduje sprowadzenie sygnału wyjściowego do zera ( $x (t f) = 0$ ).

edytuj Definicja – układ nieliniowy

Nieliniowy układ sterowania jest sterowalny, gdy macierz Liego ma pełny rząd.

edytuj Sposoby wyznaczania

Sterowalność można sprawdzić na kilka sposobów, np.:

poprzez sprawdzenie rzędu macierzy sterowalności $S = \begin{bmatrix}B & AB & A^{2}B & ...& A^{n-1}B\end{bmatrix}$ ,

gdzie A – macierz stanu, B – macierz wejść,

poprzez sprawdzenie odwracalności macierzy Grama,
wyznaczenie rzędu macierzy Kalmana,
wyznaczenie rzędu macierzy Hautusa,
wyznaczenie rzędu macierzy wygenerowanej za pomocą nawiasów Liego.

Pierwsze cztery sposoby dotyczą liniowych układów, natomiast ostatni dotyczy nieliniowych układów (takich jak układ łańcuchowy). Jeśli układ jest sterowalny, rząd obliczonej macierzy będzie równy rzędowi macierzy stanu. rz(S)=rz(A)

edytuj Wzór – układ liniowy

Stan układu $x (t)$ w końcowej chwili $t f$ (takiej, że $x (t f) = 0$ ) ma postać:

$x(t_f)=e^{t_fA}x(0)+\int_0^{t_f}{e^{(t_f-s)A}Bu(s)ds}=0$

$\int_0^{t_f}{e^{-sA}Bu(s)ds}=-x(0)$

Jako sterowanie $u (s)$ proponujemy funkcję:

$u(s)=-B^Te^{-sA^T}Mx(0)$ .

Po podstawieniu $u (s)$ do wzoru otrzymujemy wzór na M:

$M=(\int_0^{t_f}e^{-sA}BB^Te^{-sA^T}ds)^{-1}$ .

Wyrażenie w nawiasie to macierz Grama.